Jean-François Monteil, ancien maître de conférences de linguistique générale à l’Université Michel de Montaigne de Bordeaux
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Jean-francois.monteil@neuf.fr
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L p ≡ Lq, le fait p équivaut à la certitude du fait q, est ce qui correspond à la phrase complexe de la langue naturelle : Si p, alors q.
La phrase de la langue naturelle: Si p, alors q ne peut pas être identifiée à p → q, l’implication matérielle de q par p, comme on le fait communément.
L’ implication stricte de q par p ne peut pas non plus être identifiée à Il est im-possible d’avoir à la fois le fait p et le fait non-q symbolisé par ~ M (p & ~q).
L p ≡ Lq est l’expression symbolisant l’implication stricte . Elle dit qu’il est certain que le possible fait p équivaut à Lq, certitude du fait q.
L’expression ~ M (p & ~q) représente seulement un des trois éléments de l’implication stricte L p ≡ Lq .
La forme développée de L p ≡ Lq est L (p & Lq) w (~p & M~q),
De deux choses l’une ou bien on a le fait p et dans ce cas la certitude du fait q ou bien on a le fait non-p et dans ce cas la possibilité du fait non-q.
La formule développée de L p ≡ Lq , à savoir L (p & Lq) w (~p & M~q) permet de découvrir les trois ingrédients de la stricte implication de q par p:
1- ~ M (p & ~q),
2- Mp,
3- ~p. M → M~q.
-1 ~ M (p & ~q) dit qu’il est impossible d’avoir à la fois p et non-q.
-2 Mp dit que p est possible et indique ainsi que ~ M (p & ~q) ne résulte pas de ~Mp impossibilité de p
-3 ~p. M → M~q exclut Lq & Mp autrement dit le fait qu’on a Lq certitude de q en tout état de cause, que l’on ait p ou non-p.
Pour pouvoir attribuer à un fait p le statut de cause par rapport à un fait q, il est clair que le fait p doit être jugé possible. Le moyen de dire que p a un effet q si p est réputé d’emblée im-possible, que l’on ait q ou non-q ?
Il est non moins évident que si le fait q est certain en tout état de cause qu’on ait le fait p ou qu’on ait le fait non-p, il est im-possible de penser que la certitude du fait q est l’effet du seul fait p.
L p ≡ Lq, c’est la conjonction de trois éléments:
-
~ M (p & ~q)
-
Mp
-
~p. M → M~q
Pour pouvoir dire qu’un fait p est la cause d’un fait q, on doit tenir le fait p pour possible. Comment p pourrait-il avoir un effet q si p est réputé d’emblée im-possible, qu’on ait q ou non-q ? Il n’est pas moins clair que si le fait q est certain, que l’on ait p ou non-p, la certitude du fait q ne peut pas être l’effet exclusif du fait p.
Résumé plus étoffé
L p ≡ Lq, le fait p équivaut à la certitude du fait q correspond à la phrase complexe de la langue naturelle : Si p, alors q. Celle-ci ne peut pas être identifiée à p → q, l’implication matérielle de q par p, comme on le fait communément.
La définition de l’implication stricte que l’on trouve dans John Lyons est des plus critiquables. L’ implication stricte de q par p dans Semantics 1 ne peut absolument pas être identifiée à Il est im-possible d’avoir à la fois le fait p et le fait non-q ou ~ M (p & ~q).
L p ≡ Lq est, semble-t-il, l’expression symbolisant l’implication stricte du fait q par le fait p. Elle dit que p équivaut à Lq, certitude du fait q.
L’expression ~ M (p & ~q) ne représente que l’un des trois éléments composant l’implication stricte.
La forme développée de L p ≡ Lq est L (p & Lq) w (~p & M~q), à lire, De deux choses l’une ou bien on a le fait p et dans ce cas la certitude du fait q ou bien on a le fait non-p et dans ce cas la possibilité du fait non-q.
Grâce à (p & Lq) w (~p & M~q), il est facile de découvrir les trois ingrédients composant la stricte implication du fait q par le fait p:
1- ~ M (p & ~q), 2- Mp, 3- ~p. M → M~q.
1- ~ M (p & ~q) dit qu’il est impossible d’avoir à la fois p et non-q.
2- Mp dit que p est possible et indique ainsi que ~ M (p & ~q) ne résulte pas de ~Mp impossibilité de p, ne résulte pas, en d’autres termes, de L~p, certitude du fait non-p.
3- ~p. M → M~q signifie, nous le verrons, que l’on a l’implication stricte du fait q par le fait p à savoir p ≡ Lq. Le fait non-p exclut Lq, la certitude du fait q.
Mais M~q signifiant L~q w M(q) ou bien certitude de non-q ou bien possible bilatéral et de q et de non-q, le fait non-p n’exclut pas le fait q lui-même .
Nous avons en effet les deux équivalences:
M~q ≡ L~q w M(q)
M~q ≡ ~q w q.M
Quand on dit que l’on a la possibilité du fait non-q, cela veut dire que l’on a ou bien le fait non-q ou bien un fait q que l’on ne peut représenter comme certain. Dans l’alternative ~q w q . M, le symbole q . M représente un vrai fait q mais un fait q qui n’est pas certain.
Nos articles montrent que définir l’implication stricte en disant qu’elle équivaut au contenu de l’expression ~ M (p & ~q) est de toute évidence inapproprié et insuffisant car l’im-possibilité d’avoir à la fois le fait p et le fait non-q peut très bien résulter du fait que p est im-possible et non du fait que p est la cause de son effet q. D’où la nécessité d’ajouter Mp à ~ M (p & ~q).
Mais il convient d’ajouter aussi ~p. M → M~q, le troisième élément pour avoir enfin le contenu de l’implication stricte.
Ainsi
I- Associé à ~ M (p & ~q), Mp élimine avec bonheur le spectre de ~Mp impossibilité de p c’est à dire L~p certitude de non-p.
II- Associé à la conjonction ~ M (p & ~q) & Mp, l’ expression: ~p. M → M~q élimine avec bonheur un état de choses incompatible avec p ≡ Lq, à savoir, Lq & Mp.
Car l’état de choses représenté par ~ M (p & ~q) & Mp peut très bien résulter du fait que q est un fait certain en tout état de cause, que l’on ait le fait p ou que l’on ait le fait non-p et absolument pas du fait que p soit la cause de Lq.
L p ≡ Lq, c’est la conjonction de trois éléments: ~ M (p & ~q) + Mp + ~p. M → M~q
L p ≡ Lq ≡ ~ M (p & ~q) & Mp & ~p. M → M~q
Pour pouvoir attribuer à un fait p le statut de cause par rapport à un fait q, il est clair que le fait p doit être jugé possible. Le moyen de dire que p a un effet q si p est réputé d’emblée im-possible, que l’on ait q ou non-q ? Il est non moins évident que si le fait q est certain en tout état de cause qu’on ait le fait p ou qu’on ait le fait non-p, im-possible de penser que la certitude du fait q est l’effet du seul fait p.
The abstract in English
p ≡ Lq, the fact p is equivalent to the certainty of the fact q, corresponds to the complex sentence of natural language : If p, then q. If p, then q cannot be identified with p → q, the material implication of q by p, as commonly done.
The definition of strict implication to be found in John Lyons’ Semantics must be drastically criticized. The strict implication of q by p in Semantics 1 cannot be identified with the expression ~ M (p & ~q), It is im-possible to have together the fact p and the fact not-q.
The expression ~ M (p & ~q) represents just one of the three elements composing strict implication. To symbolize strict implication, JF Monteil employs p ≡ Lq the developped form of which is (p & Lq) w (~p & M~q) , to read , One of two things, either one has the fact p and then the certainty of the fact q, or one has the fact not-p and then the possibility of the fact not-q. Thanks to (p & Lq) w (~p & M~q), it is easy to find out the three ingredients of strict implication : 1- ~ M (p & ~q), 2- Mp, 3- ~p. M → M~q.
1- ~ M (p & ~q) says that it is im-possible to have together p and not-q.
2- Mp says that p is possible and therefore indicates that ~ M (p & ~q) does not result from ~Mp, im-possibility of p.
3- ~p. M → M~q means, we shall see, that when we have the strict implication of q by p, the fact not-p excludes Lq, the certainty of the fact q .
But M~q meaningL~q w M(q)or~q w q . M, we shall see that the fact not-p does not exclude the fact q in itself, duly represented in~q w q . Mbyq . M.
The expressionq . Mrepresents a true fact q but a fact q which is not certain.
To define the strict implication of q by p by saying that it is equivalent to ~ M (p & ~q) is clearly inappropriate and deficient in that the impossibility to have both the fact p and the fact not-q may result from the fact that p is im-possible and not from the fact that p is the cause of its effect q. Hence the necessity of adding Mp to ~ M (p & ~q).
But if the first two ingredients of ~ M (p & ~q) & Mp are necessary, they are not sufficient. One must add: ~p. M → M~q, the third element to obtain the content of strict implication.
To sum up:
I- Associated with ~ M (p & ~q), the second ingredient Mp happily eliminates the direful spectre of ~Mp im-possibility of p, that is, L~p certainty of not-p.
II- Associated with the conjunction ~ M (p & ~q) & Mp, the expression: ~p. M → M~q happily eliminates a state of things incompatible with p ≡ Lq, namely, Lq & Mp.
The conjunction of Lq the certainty of the fact q and the possibility of the fact p: Lq & Mp implies ~ M (p & ~q) & Mp, p ≡ Lq implies ~ M (p & ~q) & Mp too.
~ M (p & ~q) & Mp cannot imply p ≡ Lq. For the state of things represented by ~ M (p & ~q) & Mp can result from the fact that q is certain in any case, whether we have the fact p or the fact not-p and not from the fact that p is the cause of Lq.
p ≡ Lq contains 3 elements:~ M (p & ~q), Mp, ~p. M → M~q
(p ≡ Lq) ≡ ~ M (p & ~q) & Mp & ~p. M → M~q
To be able to say that a fact p is the cause of a fact q, it is evident that the fact p must be deemed to be possible. How could we establish that p has an effect q if p is said to be im-possible from the start, whether q or not-q is the case ? It is no less clear that if the fact q is certain in any case, whether p is the case or not-p is the case, it is absolutely im-possible to imagine that the certainty of the fact q is the effect resulting from the fact p exclusively.
Partie 1: Quelques faits nécessaires a priori
A Notion de système modal uninucléaire engendré par une expression comme
L p w ~p or L q w ~q.
Notion de système modal binucléaire engendré par la combinaison de
L p w ~p et de L q w ~q: L p . q w p .~q w ~p . q w ~p .~q
J’appelle uninucléaire uneexpression logique contenant une seule lettre de la série : p, q, r, s .etc … et binucléaire uneexpression logique contenant deux lettres de ladite série.
L p w ~p
Nécessairement et a priori, de deux choses l’une, on a soit le fait p soit le fait non-p
L q w ~q
Nécessairement et a priori, de deux choses l’une, n a soit le fait q soit le fait non-q
L p . q w p .~q w ~p . q w ~p .~q
Nécessairement et a priori, de quatre choses l’une, on a soit la conjonction des faits p et q, soit la conjonction des faits p et non- q, soit la conjonction des faits non- p et q, soit la conjonction des faits non- p et non-p.
Application 1: représentation analytique de p ≡ q
L’ expression p ≡ q sera définie comme représentant le fait que les états de choses p et q sont équivalents et sera donc appelée équivalence. Deux faits seront dits équivalents si de deux choses l’une ou bien ils sont tous deux réels ou bien ils sont tous deux exclus de la réalité.
p ≡ q signifie p . q w ~p .~q
En se fondant sur L p . q w p .~q w ~p . q w ~p .~q, on peut écrire
L p . q w ~p .~q ≡ ~( p .~q ) & ~(~p . q)
Il y a deux façons de représenter p ≡ q.
-sous la forme d’une alternative à deux termes: p . q w ~p .~q.
-sous la forme d’une conjonction de deux exclusions : ~ ( p .~q ) & ~(~p . q).
p ≡ q, c’est p . q w ~p .~q, donc aussi bien ~ ( p .~q ) & ~(~p . q).
Application 2 : représentation analytique d’un fait q, normalement considéré comme uninucléaire mais descriptible en termes de fait binucléaire.
En se fondant sur L p . q w p .~q w ~p . q w ~p .~q, on peut écrire:
L p . q w ~p . q ≡ ~( p .~q ) & ~(~p . ~q)
Le fait q peut être représenté comme une alternative à deux termes :p . q and ~p . q. Comme nous avons L p w ~p, le fait q est destiné à s’associer soit avec p soit avec non-p. D’autre part, comme le fait q équivaut à ~ ~ q, en d’autres termes, n’est pas autre chose que l’exclusion de non-q, l’on comprend pourquoi q peut être représenté comme l’exclusion de ~qassocié avec p et de ~qassocié avec non-p.
Ainsi, les propositions binucléaires p . q w ~p . qet ~( p .~q ) & ~(~p . ~q) , par exemple, équivalent à la proposition uninucléaire q. Pour qualifier de telles propositions réductibles à des propositions uninucléaires, Robert Blanché emploie le terme dégénéré. Délicieux!
Application 3 : représentation analytique d’un fait ~ p, normalement considéré comme uninucléaire mais descriptible en termes de fait binucléaire.
En se fondant sur L p . q w p .~q w ~p . q w ~p .~q, l’on peut écrire:
L ~p . q w ~p .~q ≡ ~( p .~q ) & ~(p . q)
Il est deux manières de représenter ~p
– sous la forme d’une alternative à deux termes : ~p . q w ~p .~q.
– sous la forme d’une conjonction de deux exclusions: ~( p . q ) & ~(p . q).
~p, c’est ~p . q w ~p .~q, donc aussi ~( p . q ) & ~(p . q).
B Les deux triades représentées dans le triangle logique du Tract Eight-8 ou triangle de la logique indienne appliqué aux 6 valeurs
L(p)
Lp L~p
Mp M(p) M~p
1- Les deux triades
La triade des 3 faits contraires : Lp L~p M(p).
Chacun des trois faits contraires correspond à un côté du triangle. Nous avons ainsi le côté Lp, le côté L~p, le côté M(p).
La triade des 3 faits subcontraires : L(p) Mp M~p
Chacun des trois faits subcontraires correspond à un sommet du triangle. Nous avons ainsi le sommet L(p), le sommet Mp, le sommet M~p.
2- Les trois couples de faits contradictoires a priori.
Lp L~p M(p) L(p) Mp M~p
12 3 3 2 1
Un fait appartenant au groupe des contraires et un fait appartenant au groupe des subcontraires constituent un couple de faits contradictoires. Deux faits contradictoires sont des faits qui ne peuvent pas être tous deux réels et ne peuvent pas être tous deux exclus de la réalité. Par exemple, Lp certitude du fait p appartenant au groupe des contraires et M~p possibilité du fait non-p appartenant au groupe des subcontraires sont des faits mutuellement contradictoires. Ils sont incompatibles mais ce qui est à noter principalement, c’est qu’ils ne peuvent pas être tous deux exclus. Le résultat, c’est que chacun peut être considéré comme l’exclusion de l’autre et peut être symbolisé comme tel. Le fait Lp peut être représenté au choix soit comme Lp certitude de psoit comme ~M~p im-possibilité of non-p, the fait M~p peut être représenté au choix soit comme M~p possibilité de non-p soit comme ~Lp non-certitude de p. Le fait contraire Lp et le fait subcontraire M~p constitueront ici le couple de faits contradictoires a priori 1
Voici les trois couples:
(1) L Lp w M~p
De deux choses l’une, ou certitude du fait p ou possibilité du fait non-p
(2) L L~p w Mp
De deux choses l’une, ou certitude du fait non-p ou possibilité du fait p
(3) L M(p) w L(p)
De deux choses l’une, ou M(p) p et non-p sont tous deux possibles ou L(p) soit p soit non-p est certain.
Par convention, M(p) représentera le possible bilatéral. Mp & M~p signifie que les faits p et non-p sont tous les deux possibles dans la mesure où ni l’un ni l’autre n’est un fait certain. Mp & M~p ou M(p) correspond dans le domaine de la logique modale à la tierce proposition contraire Y de Robert Blanché (Structures intellectuelles 1966).
Par convention, L(p) représentera Lp w L~p ou bien certitude du fait p ou bien certitude du fait non-p. L(p) c’est-à-dire Lp w L~p correspond dans le domaine de la logique modale à la tierce proposition subcontraire U de Robert Blanché (Structures intellectuelles 1966).
Le troisième fait subcontraire L(p) est l’alternative Lp w L~p De deux choses l’une, l’on a soit la certitude de p soit la certitude de non-p, ce qui explique pourquoi L(p) est l’exclusion de M(p), M(p) étant le fait que ni p ni non-p n’est certain et donc le fait que p et non-p sont tous les deux possibles.
Parmi les faits subcontraires, L(p) n’est pas une exception. Mp est aussi une alternative et peut être représenté comme telle. Mp équivaut à Lp w M(p) De deux choses l’une, on a soit la certitude de p soit la possibilité et de p et de non-p , ou pour le dire autrement, soit la certitude de p soit le possible bilatéral.
Mp possibilité de p est l’exclusion de L~p certitude de non-p par définition. Or, Lp et M(p) excluent tous deux L~p et en conséquence Mp est une valeur commune à Lp et M(p) et impliquée par les deux. On peut écrire
L Mp ≡ Lp w M(p).
De la même manière, M~p possibilité de non-p est l’exclusion de Lp certitude de p. Partant, c’est une valeur que partagent L~p et M(p), les deux étant incompatibles avec Lp. On a :
L M~p ≡ L~p w M(p)
Le troisième fait contraire M(p) est la conjonction de deux faits subcontraires: Mp et M~p. Chacun des deux autres faits contraires Lp et L~p peut aussi être représenté comme une conjonction de deux faits subcontraires. Sur le modèle de L M(p) ≡ Mp & M~p, on aura ainsi L Lp ≡ L(p) & Mp et L L~p ≡ L(p) & M~p. La représention analytique de Lp comme L(p) & Mp met en lumière le fait que l’état de choses Lp entretient une a relation de contrariété avec les deux autres faits contraires M(p) et L~p. La représention analytique de L~p comme L(p) & M~p montre que L~p certitude de non-p est le fait contraire incompatible avec les deux autres faits contraires : M(p) le possible bilatéral et Lp certitude de p.
3- La notion de contrariété appliquée aux faits
L Lp w L~p w M(p) se lira De trois choses l’une, ou bien certitude du fait p ou bien certitude du fait non-p ou bien possibilité et de p et de non-p en ce que ni p ni non-p n’est certain.
L’expression L Lp w L~p w M(p) est utilisée ici non seulement pour énumérer les trois faits contraires considérés mais aussi pour montrer en quoi elles sont contraires. Deux faits contraires sont des faits qui sont mutuellement incompatibles et peuvent tous les deux être exclus. Lp certitude de p et L~p certitude de non-p sont mutuellement incompatibles et si l’on a le troisième fait contraire M(p) Ni le fait p ni le fait non-p n’est certain et en conséquence p et non-p sont tous les deux possibles, ils sont tous les deux exclus. M(p) Ni le fait p ni le fait non-p n’est certain et en conséquence p et non-p sont tous les deux possibles d’une part et Lp le fait p est certain sont mutuellement des faits contraires également. Premièrement, ils sont incompatibles. Deuxièmement, ils peuvent être tous les deux exclus, ce qui advient quand L~p certitude du fait non-p est le cas. Il en est de même de M(p) et de L~p. Incompatibles, tous deux exclus si Lp est le cas.
4- La notion de subcontrariété appliqué aux faits.
Deux faits subcontraires sont mutuellement compatibles et ne peuvent pas être tous les deux exclus. Enumérons les trois faits subcontraires du système modal présenté ici : L(p), Mp, M~p. L(p) n’est rien d’autre que l’exclusion du fait contraire M(p) tout comme le fait subcontraire Mp est l’exclusion du fait contraire L~p,tout comme le fait subcontraire M~p est l’exclusion du fait contraire Lp.
(a) Deux faits subcontraires sont compatibles: M(p) le troisième fait contraire correspondant à la valeur Y de l’hexagone de Blanché appliqué à la logique modale est la conjonction du fait subcontraire Mp et du fait subcontraire M~p car l’on a L M(p) ≡ Mp & M~p. De la même façon, L(p), le troisième fait subcontraire correspondant à la valeur U de l’hexagone de Blanché appliqué à la logique modale et Mp sont compatibles puisque le fait contraire Lp certitudedu fait p n’est rien d’autre que la conjonction du fait subcontraire Mp excluant L~p et du fait subcontraire L(p) excluant M(p). L(p) signifie Lp w L~p De deux choses l’une, on a soit la certitude du fait p soit la certitude du fait non-p et est donc l’exclusion de M(p), le fait que ni p ni non-p n’est certain.
(b) Deuxfaits subcontraires ne peuvent pas être tous les deux exclus. Chacun des trois faits subcontraires est l’exclusion d’unfait contraire. Cela signifie réciproquement que chacun des trois faits est l’exclusion d’un fait subcontraire. Par exemple, le fait subcontraire Mp possibilité de p est l’exclusion dufait L~p certitude de non-p et le fait contraire L~p certitude de non-p est l’exclusion du fait subcontraire Mp possibilité de p. Le fait subcontraire M~p possibilité de non-p est l’exclusion dufait Lp certitude de p et le fait contraire Lp certitude de p est l’exclusion du fait subcontraire M~p possibilité de non-p. Les faits subcontraires Mp possibilité de p et M~p possibilité de non-p sont compatibles puisque le troisième fait contraire M(p) n’est rien d’autre que la conjonction Mp & M~p. Mp et M~p peuvent-ils être tous les deux exclus ? Evidemment non, car si les deux étaient exclus, cela signifierait que nous aurions ensemble L~p et Lp puisque L~p et Lp sont respectivement les exclusions de Mp et de M~p.
C Le point crucial. La seconde analytique représentation du troisième fait contraire M(p). Une importante conséquence du postulat L p w ~p, l’équivalence:
L Mp & M~p ≡ p . M w ~p . M
1- L’ ‘état de connaissance’ L(p) et l’ état d’ignorance’ M(p) sont tous les deux associés au fait nécessaire a priori L p w ~p
L’expression p . M w ~p . M résulte de la combinaison de l’expression représentant le possible bilatéral et de l’expression L p w ~p représentant le fait nécessaire a priorifondement du système. Je rappelle au lecteur la lecture que nous faisons de L p w ~p
Nécessairement et a priori, de deux choses l’une, on a soit le fait p soit le fait non-p.
La logique modale présentée ici est fondée sur le postulat L p w ~p disant qu’entre le fait p et le fait non-p il y a une relation de contradiction (contradiction ayant ici le sens de contradictoriness), relation de contradiction a priori nécessaire. D’une part les faits p et non-p sont incompatibles, d’autre part ils ne peuvent pas être tous les deux exclus de la réalité. Chacun exclut l’autre et l’exclusion de l’un équivaut à l’autre.
Que notre esprit soit dans ce que nous pourrions nommer l’ ‘état de connaissance’ symbolisé par L(p) c’est-à-dire Lp w L~p ou l’‘état d’ignorance’ symétrique symbolisé par M(p) c’est-à-dire Mp & M~p, nous devons toujours avoir présent à l’esprit L p w ~p, fait nécessaire a priori. Ce que nous allons faire le plus souvent possible ici, c’est rendre apparent ce fait a priori nécessaire p w~p. Ici et maintenant, le ‘il va sans dire’ n’est plus de mise. Pour décrire le sens du troisième fait subcontraire L(p) et pour décrire surtout celui du troisième fait M(p), nous utiliserons les expressions les plus explicites, même si elles peuvent paraître pléonastiques. Pour commencer, ces deux équivalences :
(1) L L(p) ≡ p w ~p & L(p)
L L(p) ≡ p & L(p) w ~p & L(p)
(2) L M(p) ≡ p w ~p & M(p)
L M(p) ≡ p & M(p) w ~p & M(p)
2- Les symboles p . M et ~p . M forgés sur le modèle de Lp et de L~p. Différence entre Mp possibilité du fait p et p . M le fait p lui-même associé à l’état d’ignorance.
Envisageons d’abord l’ ‘état de connaissance’: L(p) ou Lp w L~p, consistant dans l’ exclusion du symétrique ‘état d’ignorance’ M(p).
Nécessairement associé à p w ~p, ce fait L(p) peut être représenté au moyen de l’expression quelque peu pléonastique p & L(p) w ~p & L(p). Pléonastique, il se peut, mais parfaitement légitime. Et ce, d’autant plus que l’on a à comparer les deux états symétriques : L(p) et M(p).
Dans le cas de l’état d’ignorance M(p), l’expression p & M(p) w ~p & M(p) représentant M(p) et parallèle à l’expression Lp w L~p representant L(p) n’est pas du tout pléonastique. En effet Lp implique p, L~p implique non-p tandis que Mp possibilité de p n’implique pas p et que M~p possibilité de non-p n’implique pas non-p. Cette différence entre Lp et Mp, entre L~p et M~p est un point important. D’où la nécessité d’inventer les deux expressions p & M(p) et ~p & M(p). Ces expressions p & M(p) et ~p & M(p) sont appeler à se simplifier et à devenir respectivement p . M et ~p . M, le point remplaçant & comme symbole de conjonction et la lettre p entre parenthèses étant supprimé comme superflu dans le contexte.
p & M(p) et ~p & M(p) représentent les faits p et non-p quand ils sont associés à l’état d’ignorance M(p) tout comme Lp c’est-à-dire p & L(p) et L~p c’est-à-dire ~p & L(p) représentent respectivement p and non-p quand ils sont associés à l’état de connaissance L(p). Dans p & M(p), l’on a un symbole utile représentant quelque chose de différent de Mp. Mp exclut simplement L~p la certitude de non-p, cela veut dire que Mp n’exclut pas du tout le fait non-p lui-même. Mp ne nomme pas le fait p mais seulement sa possibilité. Mp est nullement incompatible avec le fait non-p lui-même. Nous allons voir dans un instant que Mp équivaut à l’alternative p w ~p . M , le second terme ~p . M y symbolise un authentique fait non-p mais un non-p qui n’est pas certain et ne saurait être symbolisé par L~p. Plus loin, nous introduirons l’équivalence: L Mp ≡ p w ~p . M.
Complètement différent est le symbole p & M(p) ou p . M.
L’expression p . M ou p & M(p) représente la conjonction d’un authentique p avec le possible bilatéral M(p). L’expression p & M(p) est à l’état d’ignorance ce que Lp , c’est-à-dire, p & L(p) est à l’état de connaissance.
De la même manière, ~p . M , autrement dit, ~p & M(p) représente la conjonction d’un vrai fait non-p avec le possible bilatéral M(p). L’expression ~p & M(p) est à l’état d’ignorance ce que L~p ou ~p & L(p) est à l’état de connaissance. Il représente un authentique fait non-p associé à l’état d’ignorance tandis que L~p ou ~p & L(p) est le même non-p associé à l’état de connaissance. L’expression ~p & M(p) est utile si l’on veut distinguer le fait non-p associé à l’état d’ignorance de la possibilité de non-p symbolisée par M~p. M~p n’implique pas non-p tandis que L~p l’implique. M~p, nous allons le voir, équivaut à l’alternative ~p w p . M, le second terme p . M représentant un vrai p mais un fait p qui ne s’associe avec la qualité de certitude. M~p possibilité du fait non-p exclut exclusivement Lp la certitude du fait p mais n’exclut pas du tout le fait p en lui-même. En conséquence M~p n’implique pas non-p tandis que L~p et ~p . M impliquent l’un et l’autre le fait non-p. Plus loin, nous introduirons l’équivalence: L M~p ≡ ~p w p . M.
3- Reflexions sur la bataille de Marathon
L’expression p & M(p) w ~p & M(p) qui deviendra p . M w ~p . M, reflète assez bien l’état d’esprit des Athéniens avant l’arrivée du messager que Miltiade a dépêché pour annoncer la bonne nouvelle: les hoplites ont remporté la victoire dans la plaine de Marathon et défait l’armée perse de Darius. p sera ici Athènes est victorieuse et ~p Athènes n’est pas victorieuse. Les Athéniens sont incapables de dire Lp Athènes est victorieuse et de dire L~p Athènes n’est pas victorieuse puisqu’ils ne savent pas l’issue de la bataille. Leur ignorance peut être représentée par ~L~p & ~Lp, autrement dit , Mp & M~p ou M(p), le possible bilatéral. Mais il y a quelque chose qu’ils savent a priori : L p w ~p De deux choses l’une, ou bien Athènes est victorieuse ou bien Athènes n’est pas victorieuse. L’on a en conséquencep w ~p & M(p) c’est-à-dire p & M(p) w ~ p & M(p) et finalement
p . M w ~ p . M
4- Les expressions utiles dérivées de la seconde symbolisation p . M w ~p . M de M(p). Les équivalences rendant explicite le sens des symboles p and ~p, le sens des symboles Mp et M~p.
L p ≡ Lp w p . M
L ~p ≡ L~p w ~p . M
L Mp ≡ p w ~p . M
L M~p ≡ ~p w p . M
5- Les trois référents Lp L~p M(p) représentés dans un système de trois couples de propositions contradictoires du langage naturel.
a
Athènes est victorieuse Lp
Athènes n’est pas victorieuse L~p
b
Il est certain qu’Athènes est victorieuse Lp
Il est possible qu’Athènes ne soit pas victorieuse p . M w ~p . M
c
Il est possible qu’Athènes soitvictorieuse p . M w ~p . M
Il est certain qu’Athènes n’est pas victorieuse L~p
Sont ici représentés les trois référents, c’est-à-dire, les trois états de choses que font connaître les six phrases. Ne sont pas représentés ici les six sens différents appréhendés par le système. Athènes est victorieuse et Il est certain qu’Athènes est victorieuse appréhendent le même référent Lp dans la mesure où le fait p est présenté comme certain par les deux phrases. Les deux phrases pourtant n’ont pas le même sens parce qu’elles n’ont pas le même pouvoir de contradiction. La phrase Athènes est victorieuse nie Athènes n’est pas victorieuse et oppose Lp spécifiquement à L~p tandis que Il est certain qu’Athènes est victorieuse nie Il est possible qu’Athènes ne soit pas victorieuse et oppose Lp spécifiquement à M(p).
Les phrases assertives Athènes n’est pas victorieuse et Il est certain qu’Athènes n’est pas victorieuse manifestent l’intention de faire connaître le même état de choses à savoir que la défaite athénienne est un fait certain. Leur référent est donc le même. Elles n’ont pas le même sens. Athènes n’est pas victorieuse contredit Athènes est victorieuse et oppose spécifiquement L~p à Lp. Il est certain qu’Athènes n’est pas victorieuse contredit Il est possible qu’Athènes soitvictorieuse et oppose spécifiquement L~p à M(p).
Les phrases assertives Il est possible qu’Athènes soitvictorieuse et Il est possible qu’Athènes ne soit pas victorieuse appréhendent le même référent M(p) car elles font connaître l’une et l’autre que p et non-p sont tous les deux possibles puisque ni l’un ni l’autre ne constitue un fait certain. Elles n’ont pas le même sens car Il est possible qu’Athènes soitvictorieuse oppose p . M w ~p . Mà la certitude du fait non-p : L~p appréhendée par Il est certain qu’ Athènes n’est pas victorieuse tandis que Il est possible qu’ Athènes ne soit pas victorieuse oppose p . M w ~p . Mà la certitude du fait p : Lp appréhendée par Il est certain qu’ Athènes estvictorieuse.
5- Les équivalences L p ≡ Lp w p . M et L ~p ≡ L~p w ~p . M
L’ équivalence L p ≡ Lp w p.M nous dit ce que le fait p peut être du point de vue du locuteur qui le pense. Celui-ci peut le penser comme la matière d’une assertion , lui attribuant ainsi la qualité de certitude et le considérant comme quelque chose qu’il connaît. Cet état d’esprit dans le sujet de la connaissance peut se manifester dans des phrases assertives comme Il est certain qu’Athènes est victorieuse et Athènes est victorieuse. Les deux phrases font connaître un fait p associé à la certitude et à la connaissance: Lp. Le même sujet de la connaissance peut envisager un fait p comme quelque chose qui ne peut pas la matière d’une assertation parce qu’il n’est pas en mesure de dire si p est réel ou non. Même si le sujet de la connaissance est dans l’état d’ignorance au sujet de p, il le pense et il doit le représenter comme associé au possible bilatéral M(p) c’est-à-dire p . M w ~p . M.
Il en est de même de L ~p ≡ L~p w ~p .M . Que le fait non-p soit pensé comme certain et connu ou bien pensé comme associé à l’état d’ignorance, il peut et il doit être représenté. Dans le premier cas, le sujet de la connaissance peut devenir locuteur et produire les phrases assertives: Athènes n’est pas victorieuse ou Il est certain qu’Athènes n’est pas victorieuse (les deux phrases font connaître le même état de choses, à savoir, L~p, le fait non-p associé à la certitude). Dans le second, le sujet de la connaissance est incapable de dire quoi que ce soit quant à la réalité de non-p mais il peut et il doit penser non-p néanmoins. Il peut le penser et le représenter ~p . M , le second élément à l’intérieur de l’alternative p . M w ~p . M.
6– Les équivalences L Mp ≡ p w ~p . M et L M~p ≡ ~p w p . M
La première équivalence représentant la signification de Mp est :
L Mp ≡ Lp w M(p)
Le fait subcontraire Mp possibilité du fait p exclut le fait contraire L~p certitude du fait non-p.
L Mp ≡ ~L~p. Le fait contraire Lp et le fait contraire M(p) excluent le fait contraire L~p et ainsi Mp est une valeur commune à Lp et à M(p).
Remplaçons M(p) par l’expression équivalente p . M w ~p . M.
On obtient: L Mp ≡ Lp w (p . M w ~p . M)
De Lp w (p . M w ~p . M) on peut dériver (Lp w p . M) w ~p . M puis
p w ~p . M, puisque L p ≡ Lp w p . M
De L Mp ≡ Lp w M(p), on derive la seconde équivalence explicitant le sens de Mp :
L Mp ≡ p w ~p . M
~p . M implique Mp tout comme Lp implique Mp parce que ~p . M n’est pas autre chose que la conjonction d’un authentique fait non-p et de Mp. Car on a ~p . ( Mp . M~p). Cette dernière expression peut se simplifier et devenir ~p . Mp puisque M~p est superflu, ~p impliquant de lui-même M~p.
De la même façon, on peut dériver L M~p ≡ ~p w p . M de L M~p ≡ L~p w M(p).
(a) L M~p ≡ L~p w M(p)
(b) L M~p ≡ L~p w (p . M w ~p . M)
(c) L M~p ≡ (L~p w ~p . M) w p . M
(d) L M~p ≡ ~p w p . M
Le fait ~p implique M~p. Le fait p . M implique aussi M~p parce que p . M n’est rien d’autre que la conjonction d’un authentique fait p et de M~p la possibilité du fait non-p.
Partie 2: Les trois éléments de l’implication stricte p ≡ Lq
A p ≡ Lq est probablement la représentation logique de propositions complexes naturelles dont la forme générale est Si p, alors q.
Pour pouvoir dire qu’un fait p est la cause d’un fait q, on doit de toute évidence tenir le fait p pour possible. Le moyen d’établir que p a un effet q si on affirme d’emblée que p est impossible et ce, qu’on ait q ou non-q ? Il n’est pas moins clair que si le fait q est certain dans tous les cas de figure, qu’on ait p ou non-p, il est absolument impossible de concevoir que la certitude de q puisse être l’effet nécessaire résultant exclusivement du fait p.
Avant d’entrer dans de méticuleuses démonstrations, je veux apprivoiser les lecteurs qui peuvent regimber devant ce qu’ils peuvent ressentir comme une avalanche de symboles ésotériques. En réalité, le problème à résoudre est relativement simple à comprendre. Je pense que tout le monde sait en quoi consiste l’implication stricte. Le problème est un problème pratique, dans la mesure où il s’agit seulement de forger un langage symbolique pouvant représenter quelque chose que nous savons déjà. L’expression p ≡ Lq a pour forme développée p & Lq w ~p & M~q. Elle dit ceci: si un premier fait p se manifeste, un second fait q se manifeste également et ce, certainement. Tout cela implique que si le fait p ne se manifeste pas, en d’autres termes, si le fait non-p se manifeste, le fait non-q est possible, le fait q n’étant plus certain mais restant possible néanmoins. Si p, alors Lq, certitude de q, si non-p, alors ~Lq, non-certitude de q autrement dit M~q, possibilité de non-q.
A ce point de l’exposé, j’invite le lecteur à voir plus ou moins dans p ≡ Lq la traduction en langage logique de la phrase appartenant à la langue naturelle: Si p, alors q. Je dois faire remarquer en passant que si la phrase naturelle Si p, alors q est à identifier avec p ≡ Lq, elle ne peut pas être identifiée avec p → q, l’implication matérielle de q par p, ce qui est la pratique usuelle des logiciens et des linguistes. Dans ces jours qui sont les nôtres, il y a l’amorce d’un changement assez radical. Il sera de plus en plus difficile d’identifier le sens de p → q avec celui de la phrase complexe Si p, alors q qui appartient au langage naturel en dépit des lettres p et q utilisées pour la représenter. De la même manière, le temps vient où il ne sera plus possible d’identifier la particulière logique Au moins un chat est gris avec la particulière naturelle Certains chats sont gris.La particulière naturelle Certains chats sont gris appréhende ce que j’appelle la quantité partielle symbolisée par Y dans Blanché vu qu’elle exclut à la fois ce que j’appelle totalité T et ce que j’appelle quantité zéro. La particulière logique Il existe au moins un x qui est à la fois chat et gris ou Au moins un chat est gris exclut uniquement la quantité zéro Z.
Considérons la phrase: S’il fait beau, Jean ira à Arcachon. Une telle phrase présuppose Mp la possibilité du fait p mais n’exclut pas non plus celle du fait non-p. L Mp ≡ p w ~p . M.
Une telle phrase S’il fait beau, Jean ira à Arcachon exclut le fait que le temps puisse être beau sans que Jean aille à Arcachon. Nous reconnaissons dans cet élément de sens de S’il fait beau, Jean ira à Arcachon, l’état de choses représenté par l’expression: ~M ( p & ~q) Il est im-possible d’avoir la conjonction du fait p et du fait non-q not-q.
~p. M → M~q , le troisième élément de la stricte implication p ≡ Lq, est plus difficile à détecter et à interpréter dans une phrase de la langue naturelle comme S’il fait beau, Jean ira à Arcachon de forme Si p, alors q. M~q, rappelons-le, est une valeur que partagent L~q et M(q). Quelquefois, sinon la plupart du temps, il semble que le symbole M~q de la forme développée p & Lq w ~p & M~q de p ≡ Lq soit à interpréter comme renvoyant plutôt à M(q), le possible bilatéral. Mais quelquefois aussi, semble-t-il, M~q renvoie plutôt à L~q, la certitude de non-q. Le problème est délicat mais n’est pas crucifiant. L~q et M(q) impliquent tous deux M~q, l’exclusion de Lq et s’agissant de l’implication stricte de q par p, c’est l’ exclusion de Lq, nous le verrons, qui est le fait important.
Qu’on ait p & Lq w ~p & M(q) ou p & Lq w ~p & L~q, on a dans les deux cas de figure p & Lq w ~p & M~q puisque tant M(q) que L~q implique M~q.
Quand on entend S’il fait beau, Jean ira à Arcachon, on ne peut inférer rien de certain quant à ce qui peut advenir en cas de sale temps. Si le temps n’est pas beau, Jean n’ira probablement pas à Arcachon mais –Qui sait?- on ne peut pas exclure que recevant une invitation impromptu de bons amis habitant Arcachon, Jean décide d’y aller en dépit d’une pluie battante. D’un autre côté, il semble que lorsque la subordonnée introduite par si suit la principale, la phrase complexe induit un sens quelque peu different du sens qui vient d’être évoqué. Il semble que si j’entends Jean ira à Arcachon s’il fait beau je peux déduire qu’en cas de mauvais temps il n’ira pas à Arcachon. Résumons. Il est possible que la phrase naturelle S’il fait beau, Jean ira à Arcachon transmette plutôt l’information correspondant à p & Lq w ~p & M(q) tandis que Jean ira à Arcachon s’il fait beau induit plutôt le sens de p & Lq w ~p & L~q.
Mais encore une fois, il est inutile de se tourmenter à propos de l’interprétation de tels systèmes conditionnels de la langue naturelle, puisque dans les deux cas on a la seule chose qui importe vraiment : p & Lq w ~p & M~q à savoir le fait qu’il est exclu qu’on ait Lq en tout état de cause, que l’on ait p ou que l’on ait non-p.
B Les trois éléments impliqués par l’expression p ≡ Lq
p ≡ Lq signifie p & Lq w ~p & M~qDe deux choses l’une, ou bien p et alors certitude de q ou bien non-p et alors possibilité de non-q.
Ce qu’on appelle ici forme développée de p ≡ Lq , c’est l’alternative p & Lq w ~p & M~q. Le premier terme de l’alternative à savoir p & Lq exclut p & ~q , la conjonction de p et de non-q. Le second terme de l’alternative à savoir ~p & M~q exclut aussi ladite conjonction p & ~q, non-p excluant p et partant aussi bien la conjonction de p et de q que la conjonction de p et de non-q. Quel que soit le terme de l’alternative p & Lq w ~p & M~q la conjonction de p et de non-q est exclue. Il en résulte que l’exclusion de p & ~q est un fait certain nécessairement associé à p ≡ Lq.
*Cette nécessaire exclusion de p & ~q lorsque l’on a la stricte implication p ≡ Lq peut se représenter de deux façons.
Première façon : je peux dire que l’exclusion de la conjonction p & ~q est un fait certain. Dans ce cas, j’emploierai l’expression L ~( p & ~q) à lire:
– [L] Il est certain
– [~] que l’on n’a pas
– [p & ~q] la conjonction de p et de non-q.
Seconde façon: je peux dire que la conjonction p & ~q est un fait im-possible. Dans ce second cas, j’emploierai l’expression ~ M ( p & ~q) à lire:
– [~ M] Est un fait im-possible
– [p & ~q] la conjonction de p et de non-q.
Pour conclure, p ≡ Lq implique L ~ ( p & ~q) Il est certain que l’on n’a pas la conjonction du fait p et du fait non-q ou, pour le dire autrement, p ≡ Lq implique ~ M ( p & ~q) Il est im-possible que l’on ait la conjonction du fait p et du fait non-q.
Parlons maintenant de Mp, le deuxième ingrédient. L’alternative p & Lq w ~p & M~q fait apparaître clairement que l’on a Mp la possibilité du fait p. Le premier terme p & Lq de l’alternative est in-compatible avec L~p, la certitude de non-p, ou pour le dire autrement, est in-compatible ~ Mp, l’ im-possibilité de p.
Si j’ai L ~p, j’ai forcément L ~( p & ~q) & L ~(p & q). Si j’ai certainement non-p, il est certain que la conjonction de p et de non-q est exclue tout comme la conjonction de p et de q. Si j’ai ~Mp, l’im-possibilité de p, j’ai ~M ( p & ~q) & ~M (p & q) parce que l’im-possibilité de p, c’est à la fois l’im-possibilité de la conjonction p & q et l’im-possibilité de la conjonction p & ~q.
Deux faits à relever, pour résumer ce qui précède:
1- L L ~p ≡ L ~( p & ~q) & L ~(p & q) ou ~Mp ≡ ~M ( p & ~q) & ~M (p & q)
2- p ≡ Lq implique nécessairement deux choses : (I) ~M ( p & ~q) (II) Mp
Donc, l’implication stricte de q par p ne peut être pas être représenté par le seul premier ingrédient ~M ( p & ~q) ou L ~( p & ~q).
L’implication p ≡ Lq implique ~M ( p & ~q) mais L~p (or ~Mp) l’ implique également. En conséquence, si l’on considère seulement ~M ( p & ~q) lui-même, l’on est incapable de dire si l’im-possibilitéde la conjonction de p et de non-q résulte de l’état de choses p ≡ Lq ou de l’état de choses ~Mp (or L ~p).
D’où la nécessité d’ajouter au premier élément ~Mp (or L~p) un second élément Mp, qui a la vertu d’écarter drastiquement l’horrible spectre troublant le sommeil du logicien.
La conjonction des deux premiers éléments: ~M( p & ~q) & Mp suffit-elle à représenter analytiquement la stricte implication du fait q par le fait p ? La réponse est non et nous allons montrer pourquoi la conjonction des deux premiers ingrédients ~M( p & ~q) et Mp ne suffit pas à représenter analytiquement p ≡ Lq.
L’expression p ≡ Lq implique ~M ( p & ~q) & Mp mais ~M ( p & ~q) & Mp n’implique pas p ≡ Lq. A ce point de l’exposé, une remarque générale. Deux expressions sont dites équivalentes, si et seulement si elles s’impliquent l’une l’autre.
L’expression t ≡ u signifie que t implique u et que u implique t. On peut poser l’équivalence : L ( t ≡ u ) ≡ ( t → u & u → t)
Si nous disons que p ≡ Lq et ~M ( p & ~q) & Mp & ~p. M → M~q avec sestrois ingrédientssont des expressions équivalentes, c’est parce que si l’on a p ≡ Lq on a nécessairement la conjonction des trois éléments : ( p & ~q) & Mp & ~p. M → M~q et que réciproquement si on a ladite conjonction de trois éléments, l’on a p ≡ Lq nécessairement. Ce que nous avons à établir, c’est l’équivalence :
L (p ≡ Lq) ≡ ~ M (p & ~q) & Mp & ~p. M → M~q
C Le second fantôme à écarter : Mp & Lq.
Lq équivaut à l’expression L (p . q w ~p . q)
En effet, q peut se décrire comme l’alternative : p . q w ~p . q, autrement dit, une proposition binucléaire ‘dégénéré’ en ce qu’elle est réductible à une proposition uninucléaire q.
Rappelons le fait suivant: L p . q w p . ~q w ~p . q w ~p . ~q, qui est nécessaire a priori. Son expression peut se lire: De quatre choses l’une, on a ou bien p and q ou bien p et non-q ou bien non-p et q ou bien non-p et non-q. Nous pouvons déduire à propos de q:
L q ≡ ( p . q w ~p . q ) ≡ ~ ( p . ~q ) & ~ (~ p . ~q )
q peut se décrire comme l’exclusion de non-q et donc comme l’exclusion à la fois de non-q associé à p et de non-q associé à non-p.
Si q équivaut à ~ ( p . ~q ) & ~ (~ p . ~q ),
Lq équivaut à L ~ ( p . ~q ) & L ~ (~ p . ~q )
Lq équivaut à ~M (p . ~q ) & ~ M (~ p . ~q ) .
Voici le problème: Lq implique ~M (p . ~q) et l’implication stricte p ≡ Lq implique, elle aussi, ~M (p . ~q ). Si à Lq s’associe Mp, on a la conjonction Mp & Lq et donc quelque chose impliquant ~M (p . ~q ) & Mp tout comme p ≡ Lq implique ~M (p . ~q ) & Mp. Or, il est clair que l’implication stricte de q par p: p ≡ Lq reliant la certitude de q au fait p exclusivement n’a pas du tout le même sens que Mp & Lq. Le seul effet de Mp ajouté ici à Lq, c’est d’exclure L~p & Lq, la conjonction associant Lq avec la certitude du fait non-p : L~p. Mais j’invite le lecteur à observer que Lq est néanmoins parfaitement compatible avec le fait non-p. Mp équivaut à p w ~p . M. L’expression p & Lq w ~p . M & Lq est la forme dévelopée de Mp & Lq. Elle montre clairement que Lq est compatible aussi bien avec non-p qu’avec p et en conséquence n’est absolument pas dépendant du fait p pour sa manifestation.
Concluons. La conjonction des deux premiers ingrédients ~M (p . ~q ) et Mp n’est pas suffisante pour représenter l’implication de q par p.
Il est évident que si le fait q est certain dans tous les cas de figure, que l’on ait p ou non-p, il est absolument im-possible d’imaginer que le fait q exige le fait p pour être certain. Nous avons eu à éliminer L~p par Mp conjoint à ~M (p . ~q ) car L~p est de toute evidence incompatible avec la notion d’une implication stricte de q par p. Il est également nécessaire d’éliminer Mp & Lq qui n’est pas moins incompatible avec p ≡ Lq que L~p.
Revenons à Lq considéré en lui-même. Si l’on veut représenter Lq comme une proposition binucléaire dégénérée, on peut le faire de trois manières :
Lq, c’est L ( p . q w ~p . q )
Lq, c’est L ~ (p . ~q) & L ~ (~p . ~q)
Lq, c’est ~M (p . ~q) & ~M (~p . ~q), à lire, Le fait q est certain car il est im-possible d’avoir non-q associé à p et d’avoir non-q associé à non-p.
Le problème est d’éliminer le ~p . M & Lq de p & Lq w ~p . M & Lq, la forme dévelopée de Mp & Lq. Le problème est d’éliminer ~M (~p . ~q) de la troisième forme dévelopée de Lq, considéré en lui-même, je veux dire, envisagé comme indépendant de p et de non-p. Le résultat sera obtenu si on ajoute à ~M (p . ~q) & Mp le troisième ingrédient: ~p. M → M~q .
Il faut interpréter ce ~p. M → M~q à la lumière et sous le contrôle de ~M (p . ~q) et de Mp, les deux premiers éléments avec lesquels il est associé. On admettra ici qu’un fait r implique matériellement un fait s si de deux choses, ou bien il y a la conjonction des faits r et s ou bien il y a le fait non-r. L r → s ≡ (r & s) w ~ r
~p. M → M~q équivaut donc à ~p. M & M~q w ~ (~p. M).
En lui-même, ~ (~p. M) peut être deux choses: L~p ou p. L~p implique ~ (~p. M) puisque L~p, c’est non-p associé à non-p tandisque ~p. M, c’est le même non-p mais associé à l’ ‘état d’ignorance’. Quant au fait p, il implique ~ (~p. M) en ce que p est a priori l’exclusion du fait non-p, que ce fait non-p soit associé à L(p) ou à M(p).
On a certes L ~ (~p. M) ≡ L~p w p. Mais puisque ~ (~p. M) est envisagé sous le contrôle de Mp c’est-à-dire ~ L~p, ~ (~p. M) représente ici p exclusivement. Partant, ~p. M → M~q signifie ici ~p. M & M~q w p. Considéré à la lumière de l’ingrédient ~M (p . ~q) , p peut devenir avantageusement p & Lq.
Ainsi, ~p. M → M~q interprété à la lumière de ~M (p . ~q) & Mp est devenu :
~p. M & M~q w p & Lq c’est-à-dire aussi bien p & Lq w ~p. M & M~q car dans une alternative l’ordre des termes n’est pas pertinent. p w q a le même sens que q w p.
Ainsi donc, notre troisième élément ~p. M → M~q interprété à la lumière et sous le contrôle des deux premiers: Mp et ~M (p . ~q) devient :
p & Lq w ~p. M & M~q
Puisque l’on a Mp et que la présence agissante de Mp est patente ~p. M & M~q peut se simplifier et devenir ~p & M~q. Partant p & Lq w ~p. M & M~q peut devenir:
p & Lq w ~p & M~q, autrement dit, p ≡ Lq
Rappelons en effet en quoi consiste a priori Mp. On a nécessairement:
L Mp ≡ (p w ~p . M) donc L Mp ≡ (~p ≡ ~p . M)
Dans les cas où la présence de Mp est patente, ~p et ~p.M sont des expressions équivalentes et donc interchangeables.
Notons au passage que dès le début, quand j’énumérais les trois éléments composant l’implication stricte : p ≡ Lq, je pouvais écrire ~p → M~q à la place de l’expression la plus explicite ~p.M → M~q,
Car dans L (p ≡ Lq) ≡ ~ M (p & ~q) & Mp & ~p. M → M~q,le voisinage de Mp rend quelque peu superflue l’indication que le fait non-p envisagé est un non-p associé à M(p) et non à L(p). Si j’écris ~p à côté de Mp, ce ~p doit nécessairement s’interpréter comme un ~p. M, L~p étant impossible dans le contexte.
Ainsi, à partir de ~p. M → M~q considéré à la lumière des deux premiers éléments Mp et ~M (p .~q) l’on obtient p & Lq w ~p & M~q c’est-à-dire p ≡ Lq.
p ≡ Lq implique ~ M (p & ~q) & Mp & ~p. M → M~q et réciproquement, nous venons de le voir, ~ M (p & ~q) & Mp & ~p. M → M~q implique p ≡ Lq. Les deux expressions sont équivalents. Il semble bien que p ≡ Lq est la formule.
Les quatre lieux d’intervention sur la toile
– 1 site non personnel de l’Université 3 de Bordeaux: http://erssab.u-bordeaux3.fr
– 2 site personnel : http://www.grammar-and-logic.com
– 3 système des knols mis sur pied par Google. Taper “knol 000” pour comprendre le classement et
taper “jean-françois monteil” site:knol.google.com pour les avoir rassemblés ou plutôt cliquer sur here
– 4 http:// grammaire-et-logique.tract-8.over-blog.com. Ce quatrième site examine les articles publiés dans Wikipedia se rapportant aux questions de grammaire et de logique.
Les quatre thèmes liés:
– réalité et importance du signe paradoxal que l’auteur appelle non-marque et qui consiste dans une absence signifiante de matière phonique.
– nécessité pour le bien de la logique et de la linguistique générale de remplacer le carré logique, dit carré d’Aristote ou carré d’Apulée, par l’hexagone logique de Robert Blanché. Le carré a pour origine le chapitre 7 du De interpretatione, deuxième livre de l’Organon aristotélicien. L’hexagone est décrit dans Structures intellectuelles, ouvrage publié chez Vrin en 1966.
– transmission d’Aristote par les Arabes à l’Occident chrétien à l’époque médiévale.
– utilité d’examiner les problèmes de la logique modale, notamment le problème de l’implication stricte à la lumière de l’hexagone de Blanché.
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